CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN

Lafactorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b) (a + b).

Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Ejemplo:

3x + 3y =3(x + y) R//

Observamos claramente que el 3 está multiplicando con cada termino, este número es el factor común.

El binomio que queda después de que el tres abandona cada termino.

En el primer término sale el tres nos queda x.

En el segundo término sale el tres nos queda y.

Y así obtenemos este binomio con el caso llamado con el caso factor común.

Caso 2 – Factor Común por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Ejemplo:

2ac – 5bd – 2a +2ad – 5b – 5bc=2ac – 2a + 2ad – 5bc + 5b – 5bd

= (2ac – 2a + 2ad) – (5bc - 5b + 5bd)=2a (c – 1 + d) -5b (c -1 + d)

= (2a – 5b) (c – 1 + d)R//

-Observamos el ejercicios en este caso tenemos un polinomio de 6 términos.

-Ver cuantos términos con coeficiente iguales hay para poder ordenarlo.

- Una vez ordenado pasamos a agrupar los términos entre paréntesis

- una vez agrupar sacamos factor común de cada termino

- nos quedara un binomio y luego agrupamos y así nos quedara factorizado nuestro ejercicios. 

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Ejemplo:
𝐱𝟐+𝟔𝐱+𝟗 Tenemos planteado un ejercicio de la forma a2±2ab+b2 TCP.
↓ ↓ ↓
x + 3
Sacamos las raíces cuadradas del primer y del último término y del segundo el signo.
2(𝐱)(𝟑)=𝟔𝐱
El termino del medio el 6x tiene que salir como el resultado de multiplicar dos veces la raíz del primero por la raíz del tercero.
𝐱𝟐+𝟔𝐱+𝟗 = (𝐱+3)2
El resultado del trinomio va a hacer igual a un binomio al cuadrado en la cual abrimos paréntesis y ponemos las raíces del primer y del último término con el signo del término de la mitad ósea el signo del 6x

Caso 4 – Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos

Ejemplo:

16² - 25y⁴=(4x – 5y²) (4x + 5y²) R//

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Factor izar  x4 + 3x2 + 4
SOLUCIÓN
X4 + 3x2 + 4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2) (2)
= 4x2
El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
x4 + 3x2 + 4
= x4 + 3x2 + 4
+ x2 - x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------
=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de cuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada factor.
Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)

Caso 6 - Trinomio de la forma x² + bx + c

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Ejemplo:

-Observamos el ejercicio y abrimos dos paréntesis y ponemos la x en el primer paréntesis y la otra x en el segundo paréntesis.

-Luego colocamos el signo que separa al ejercicio y en el segundo paréntesis la suma de los dos signos.

-Luego en el primer paréntesis colocamos 2 número que multiplicado me de 6 y nos de 5 y así tenemos factorizado el ejercicio.

Caso 7 - Trinomio de la forma ax²+bx+c

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

x²+bx+c

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

Ejercicio:

Lo primero que realizamos es sacar el factor común multiplicando el primer término por el tercer término y nos que 20.

Luego procedemos a realizar el trinomio en donde tenemos que buscar que un número multiplicado nos de 20 y sumado nos de 9.

A continuación procedemos a realizar  la simplificación respectiva.

Después de haber realizado la simplificación obtenemos la respuesta que es                              

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

Posee cuatro términos
° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
° El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
° El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
° Los signos son todos más o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es más si todos los signos del cubo son más y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Ejemplo:

                                               

Los primero que realizamos en este caso de factorización es sacar la raíz cubica del primer término que es 2x y la raíz cubica del cuarto termino que es 3y.

Luego procedemos a verificar  si la factorización es correcta y lo que tenemos que realizar es multiplicar el triple producto por el primer término elevado al cuadrado por el cuarto termino que nos queda .

Después volvemos a realizar lo mismo en este paso multiplicando el  triple producto por el primer término y por el cuarto término elevado al cuadrado y nos queda .

Luego de haber realizado estos pasos nos damos cuenta que si es un cubo perfecto de binomiosobteniendo como resultado

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor está formado por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado.

Ejercicio:

FACTORIZAR:
1). 125 - w18z36
Raíz cúbica del primer término 125 es 5
Raíz cúbica del primer término w18z36 es w6z12
125 - w18z36 = (5 - w6z12) [(5)2 + (5)(w6z12) + (w6z12)2]
125 - w18z36 = (5 - w6z12) (25 + 5w6z12 + w12z24) r//

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES

1. Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).

2. Se sacan las raíces de cada término.

3. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del primer término dado y el segundo termino es la raíz del segundo término dado.

4. El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

5. Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

6. En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

7. En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

8. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

9. Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

10. Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

Ejercicio:

Si la diferencia es:
Clasificación 𝑚8- 𝑛8 expresión negativa par
Raíces raíz 8 𝑚8= 𝑚 𝑛8= n
Binomio (𝑚−𝑛)
Polinomio [(m)7 (n)0 (m)6 (n)1 (m)5 (n)2 (m)4 (n)3 (m)3 (n)4 (m)2 (n)5 (m)1 (n)6 (m)0 (n)7 ]
Signos [m7 +m6 n + m5 n2 + m4 n3 + m3 n4 + m2 n5 + mn6 + n7 ]
Respuesta (𝑚−𝑛)[m7 +m6 n + m5 n2 + m4 n3 + m3 n4 + m2 n5 + mn6 + n7 ]
Si la diferencia es:
Clasificación 𝑚9+ 𝑛9 expresión positiva impar
Raíces raíz 9 𝑚9= 𝑚 𝑛9= n
Binomio [(m)8 (n)0 (m)7 (n)1 (m)6 (n)2 (m)5 (n)3 (m)4 (n)4 (m)3 (n)5 (m)2 (n)6 (m)1 (n)7 (m)0 (n)8 ]
Signos [m8 −m7 n + m6 n2 - m5 n3 + m4 n4 − m3 n5 +m2 n6 − mn7 +n8 ]
Respuesta(𝑚+𝑛)[m8 −m7 n + m6 n2 - m5 n3 + m4 n4 − m3 n5 +m2 n6 − mn7 +n8 ]